BMI- Eine mathematische Abhandlung

Liebe Redaktion,

 

im Internet habe ich Ihre Seite über den Body-Mass-Index gefunden, die von Ihnen verfasst wurde. Im folgenden möchte ich die Gedanken eines Mathematikers darlegen zum BMI, weniger zu ihrer Seite sondern vielmehr zum BMI allgemein. Seit einem halben Jahr stehe ich nicht mehr im Arbeitsleben, habe zuvor in Freiberg (Sachsen) gelehrt, am Institut für Angewandte Mathematik II.

 

Mein Problem mit dem heute gebräuchlichen BMI besteht darin, dass durch die zweite Potenz der Körpergröße dividiert wird und nicht durch die dritte Potenz. Ich würde einen kubischen Body-Mass-Index (KBMI), bei dem also durch die dritte Potenz (Kubik) der Körpergröße h dividiert wird, für sinnvoller halten.

 

Zur Begründung betrachten wir eine Klasse K von Menschen, die einander vollkommen ähnlich sind, sich aber durch unterschiedliche Körperhöhe h unterscheiden. Man kann sich dies so vorstellen, dass man einen Grundtyp der Höhe h = 1 hernimmt, in ein 3-dimensionales Koordinaten­system stellt und alle Koordinatenangaben mit einem festen Wert h multipliziert. Zum Beispiel geht dabei der Koordinatenpunkt (3, 2, 7) über in den Punkt (3h, 2h, 7h). Das Ganze läuft also ab wie eine fotografische Vergrößerung, nur eben im 3-dimensionalen.

 

Das Gewicht G eines Menschen aus K ist dann gegeben durch G = c*h³, wobei c eine Konstante ist. Dies zeigt eine einfache mathematische Überlegung, die ich hier nicht näher ausführen möchte. Plausibel wird dies, wenn man das Würfelvolumen V = a³ (a ist hierbei die Kantenlänge) und das Kugelvolumen V = (4pi/3)*r³ (r ist der Kugelradius) betrachtet, die beide in der dritten Potenz von der linearen Ausdehnung a bzw. r abhängen..

Alle Menschen aus der Klasse K, die also untereinander vollkommen ähnlich sind, würde ich als gleich schlank anzusehen, ihr BMI wäre aber c*h, also von der Körperhöhe abhängig und nicht einheitlich. Dagegen wäre ihr KBMI einfach c, also einheitlich für die ganze Klasse K.

 

Menschen mit einem BMI von wenigstens 25 gelten als übergewichtig. Dementsprechend müsste man sagen, dass Menschen mit einem KBMI von wenigstens 16 (ungefähr, müsste genauer festgelegt werden) als übergewichtig anzusehen sind. Die Übergewichtigen nach BMI bzw. KBMI sind aber nicht identisch!

Natürlich kann man einwenden, dass die Körperhöhe h allein nicht ausreicht, um einen Menschen zu charakterisieren. Sicher wäre es realistischer, wenn man nicht durch h³, sondern durch h*b*t dividiert, wo h die Körperhöhe, b die Körperbreite und t die Körpertiefe sind. Die Körperbreite b lässt sich vielleicht als Schulterbreite interpretieren, aber wer will die Schulterbreite exakt messen? Bei der Tiefe t ist es noch schwieriger, die Fußgröße ist gewiss nicht angebracht. Am einfachsten wäre es, die Tiefe t proportional zu b anzunehmen.

 

Damit käme man zu einem verbesserten BMI (VBMI), der sich nach der Formel G/(h*b²) berechnet. Menschen mit einem VBMI von wenigstens 220 wären als übergewichtig anzusehen.

Der VBMI ist sicherlich wegen der Messung der Schulterbreite b schwer handhabbar. Eine Beobachtung zeigt nun, dass die Schulterbreite mit h wächst, aber nicht so schnell wie h. Die einfachste Annahme wäre, dass b etwa wie die Wurzel aus h wächst. Dies müsste allerdings experimentwell nachgeprüft werden, ist es vielleicht schon.

 

Setzt man dies in den VBMI für b ein, so gelangt man wieder zum BMI. Der BMI ist dann gerechtfertigt, weil größere Menschen zwar auch breiter sind, aber nicht proportional zur Körperhöhe breiter. Die Dimension aller Koeffizienten BMI, KBMI und VBMI ist kg/m³.

 

Die Koeffizienten für meine Frau (G = 60.7 kg, h = 1,64 m, b = 0,43m) sind BMI = 22,6, KBMI = 13,8 und VBMI = 200. Die entsprechenden Koeffizienten für mich (G = 78,5 kg, h =1,84 m, b = 0,46 m) lauten BMI = 23,2, KBMI = 12,6 und VBMI = 202. Nach dem BMI und dem VBMI ist meine Frau schlanker, nach dem KBMI bin ich schlanker.

 

Während also das Gewicht in der Klasse K mit der dritten Potenz von h wächst, nimmt die Körperkraft nur mit der zweiten Potenz zu, denn sie ist proportional zum Muskelquerschnitt, also von einer Fläche abhängig. Mit h wächst also die Muskelkraft langsamer als das Gewicht.

Die letzte Überlegung ist natürlich auch im Tierreich gültig. Kleine Tiere haben im Vergleich zu ihrem Gewicht eine viel größere Stärke als große Tiere (dies ist nun wirklich nicht im übertragenen Sinne gemeint). Wir brauchen uns also nicht wundern, dass ein Floh ein Vielfaches seiner Körperlänge überspringt, eine Ameise ein Vielfaches ihres Eigengewichts fortschleppt, usw.

 

Wir haben also eine Diskrepanz zwischen der flächenmäßigen Zunahme der Muskelkraft und der volumenmäßigen Zunahme des Gewichts gefunden. Die Diskrepanz zwischen Fläche und Volumen äußert sich auch beim Blutkreislauf. Der Querschnitt der Blutadern wächst proportional zu h², die Menge des pro Zeiteinheit zu tranportierenden Blutes ist wieder proportional zu h³, weil ja der gesamte Körper gleichmäßig mit Sauerstoff versorgt werden muss. Also muss die Strömungsgeschwindigkeit des Blutes proportional zu h wachsen, was natürlich nicht unbegrenzt möglich ist.

 

Und genauso verhält es sich mit der Atmung. Der Luftröhrenquerschnitt wächst wieder proportional mit h², die Menge der auszutauschenden Atemluft pro Zeiteinheit aber proportional zu h³. Dies bedeutet wiederum, dass die Strömungsgeschwindigkeit in der Luftröhre mit h anwachsen muss.

 

Sicher ist die Diskrepanz zwischen Fläche und Volumen auch die Ursache dafür, dass es keine größeren Tiere gibt als Elefanten, keine größeren Vögel als Adler oder Kondor, keine größeren Fische als Wale. Ein fliegender Elefant ist einfach undenkbar. Vielleicht liegt hier auch die Ursache dafür, dass die Saurier ausgestorben sind. Ihre Körperkraft war einfach zu klein für ihr Gewicht.

 

Mit freundlichen Grüßen

 

Peter Schatte

 

Text: Prof. (em.) Dr. rer. nat. habil. Peter Schatte

 

 

Erstellt von Lysann Rall, 04/2004 

 

Letzte Änderung: 10/2004